Simetría y forma

De acuerdo con Felix Klein, la geometría es el estudio de aquellas propiedades de un espacio que son invariantes por la acción de un grupo de transformaciones. En Geometría de Riemann el grupo de transformaciones del espacio se llama el grupo de isometrías, aunque el espacio puede a veces tener propiedades adicionales que surgen de requisitos físicos o matemáticos que también tienen que ser preservados por el grupo de transformaciones. Este es el caso de las subvariedades, cuya geometría es influenciada por la estructura del espacio ambiente.

Intuitivamente, la simetría es la correspondencia de la forma en cada punto del espacio. Un problema importante en geometría y en varias ciencias físicas es el de determinar las simetrías de un espacio en términos de su forma. Las subvariedades que son invariantes bajo las isometrías del espacio ambiente se llaman extrínsecamente homogéneas, o solamente homogéneas cuando no hay posibilidad de confusión. La idea principal de mi proyecto de investigación es la de clasificar subvariedades homogéneas de una variedad de Riemann dada, estudiar sus propiedades geométricas, y determinar si su forma es característica de ellas.