La categoría LS de un espacio topológico X es el menor entero n tal que X puede ser recubierto por n+1 abiertos contráctiles en X. Es un invariante homotópico muy interesante pero difícil de calcular. La estudiaremos en el contexto de los grupos de Lie clásicos y los espacios simétricos.
Un método para el estudio de la categoría LS de los grupos de Lie fue introducido por W. Singhof para calcular la categoría del grupo unitario U(n). Obtiene un recubrimiento explícito por abiertos asociados a autovalores. Utilizaremos la transformación de Cayley -y la generalizaremos a los espacios simétricos- para probar que estos abiertos son contráctiles. Los problemas que surgen al tratar de extender este método al grupo simpléctico guardan relación con el álgebra lineal cuaterniónica y las funciones de Morse. Como ejemplos obtendremos recubrimientos categóricos explícitos de U(n)/O(n) y U(2n)/Sp(n) así como una fórmula que relaciona cat Sp(n) con las subvariedades críticas de cualquier función altura.
© María José Pereira Sáez.