OUTRAS COUSAS




Nacín en Cambados (na marxe pontevedresa da ría de Arousa), de onde tamén procede o apelido Oubiña. Aquí pódense ver, en primeiro lugar, os compañeiros daquel bacharelato de sete cursos (1963-1970) no Instituto Técnico de Vilagarcía, os da promoción de 1975 de Matemáticas na Universidade de Santiago de Compostela, e os do Departamento de Xeometría e Topoloxía desta Universidade, pouco despois de que eu empezara a traballar nel.



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A maior parte da matemática-para-un-fin-determinado que se está desenvolvendo durará, pero quixera sinalar que canto máis pura é a matemática, máis capaz é de incorporar os esquemas importantes da estructura xeral do coñecemento; é por esto que no pasado as aplicacións máis importantes ás ciencias básicas proceden máis da matemática elaborada para os seus propios fins e para a súa lóxica interna que da matemática construída con algunha finalidade concreta.

Salomon Bochner
The Role of Mathematics in the Rise of Science (1966)



Anótanse aquí algúns pasaxes literarios que, dalgunha forma, teñen relación coas matemáticas, recollidos de lecturas de varios escritores. Non se copia ningún fragmento de ningún texto de Borges (percibidor abstracto del mundo), onde un xa pode presumir que vai atopar íntimas conexións coa Matemática (nen de Alicia, nen de Planilandia), senón breves aparicións marxinais ou súpetas coma a de un teorema de García Lorca, un recordo de García Márquez no seu libro de memorias, unhas sarcásticas observacións de Vicente Risco, uns fractais nun monólogo dun misterioso ser de Gala, unha suposta proba da existencia de Deus dun persoaxe de Huxley, unha (xa no título) figura xeométrica en Freixanes, e unha especial confirmación do paradoxo de Zenón no grupo abeliano de Cid Cabido. Recóllense tamén pensamentos de Leonardo recreados por Luis Racionero, e uns fragmentos dalgúns dos ensaios de Sábato.

Vese despois como no seu máis popular libro, Stephen Hawking achégase á definición de variedade   un dos meus obxectos matemáticos predilectos  , e tamén como este obxecto é presentado polo filósofo da ciencia Michael Friedman.



 
Federico García Lorca
Teorema en el paisaje  (1928)
 


Árbol de viento gris sobre la mar perfecta.
A, B, C y D clavadas de coral y de yeso.
La locura que topa del mercurio expectante
compensa ramas bebidas dentro del tubo cándido,
quieta nube en un tubo de cristal hasta el cielo.

La nube proyectaba sombra de cocodrilo.
A prima se alargaba doble en el agua quieta.
Un corazón de niño que un bisturí punzaba
bajo las lisas rocas donde el mar se hace daño.

El ángulo de peces que llega al horizonte
es igual en distancia, profundidad y sueño
al ángulo invisible que un alfiler trazara
sobre el mar quieto y grande de un ojo de caballo.

La luna sumergida dentro de un cubilete
recordaba un mundo de paisajes tendidos.
Hombrecillos al lado de una mosca gigante
tocaban largas flautas de madera de sándalo.

A, B, C y D señalan
un límite a la lira.

Encima las estrellas crujen látigos quietos.
En el fondo del mar los moluscos sin casa
orientan sus terrores a la copa de un árbol.
El mar queda tirante bajo el teorema puro.
Se apoya como un cojo dolorido en las playas.
Y el desnudo de un negro con el cuello cortado.
Flota en la bella curva de un perfil de gritos.


 
Gabriel García Márquez
Vivir para contarla  (2002)
 


    Este ambiente sólo era posible por la clase de maestros que en general permitían una fácil relación personal. Nuestro profesor de Matemáticas, con su sabiduría y su áspero sentido del humor, convertía las clases en una fiesta temible. Se llamaba Joaquín Giraldo Santa y fue el primer colombiano que obtuvo el título de doctor en matemáticas. Para desdicha mía, y a pesar de mis grandes esfuerzos y los suyos, nunca logré integrarme a su clase. Solía decirse entonces que las vocaciones poéticas interferían con las matemáticas, y uno terminaba no sólo por creerlo, sino por naufragar en ellas. La geometría fue más compasiva tal vez por obra y gracia de su prestigio literario. La aritmética, por el contrario, se comportaba con una simplicidad hostil. Todavía hoy, para hacer una suma mental, tengo que desbaratar los números en sus componentes más fáciles, en especial el siete y el nueve, cuyas tablas no pude nunca memorizar. De modo que para sumar siete y cuatro le quito dos al siete, sumo cuatro al cinco que me queda y al final vuelvo a sumar el dos: �once! La multiplicación me falló siempre porque nunca pude recordar los números que llevaba en la memoria. Al álgebra le dediqué mis mejores ánimos, no sólo por respeto a su estirpe clásica sino por mi cariño y mi terror al maestro. Fue inútil. Me reprobaron en cada trimestre, la rehabilité dos veces y la perdí en otra tentativa ilícita que me concedieron por caridad.



 
Vicente Risco
O porco de pé  (1928)
 


    O distrito de Solveira é revolucionario. Os outros andan decote esgarabellando. En política hai sempre os outros, e ten que habelos; con iso xa se conta; o conto é que non collan forza demais. Ten que habelos, porque cómpre que haxa en quen mallar   ï¿½que sería da Lei sen pleiteantes, da Xustiza se non houbese quen roubase e fixese mortes, do Socialismo sen burgueses, da Policía sen ladróns, da aguillada sen boi, do martelo sen cravo, da serra sen madeira, da picaraña sen pedra, do coitelo sen carne, da navalla sen barba, do puñal sen corazón?  ... Cada cousa precisa da súa contraria. Deste xeito, os outros poden ser calquera, tanto ten, o conto é que os haxa. Os outros responden ó principio universal do antagonismo representado no binario cabalístico: o antagonismo simétrico das forzas que, non podéndose manifestar forza nigunha sen a súa contraria, compoñen o equilibrio da vida universal.

    Os outros son unha presencia necesaria, e sobre deles érguese non soamente a doutrina fundamental do sistema parlamentario, co seu turno dos partidos, participación das minorías, representación proporcional, sistema de voto restrinxido, do voto acumulado, do voto único, do voto plural, do cociente, do duplo cociente, do coeficiente, do doutor Hondt, da lei checoslovaca, e outros tantos que están facendo precisa a creación nas Facultades de Dereito dunha cátedra de Cálculo electoral, a cargo dun doutor en Ciencias Exactas   senón tamén, como vemos, un verdadeiro sistema de goberno.



 
Antonio Gala
El imposible olvido  (2001)
 


      Os envidio. Creáis y amáis... El hombre quiere más, aspira a más. Trata de redimirse de su pequeñez creando obras armoniosas, de majestad y de belleza. Su arte se sirve de la norma y del sistema de la geometría y de los más exactos equilibrios del ritmo. Y de repente, introduce en esa arquitectura el riesgo de la emoción y la palpitación. Y esa palpitación es la que, a tientas, acierta en el centro de todo, después de hacer vacilar la obra y amenazarla. Hasta que el hombre, de nuevo y para siempre, la arraiga y la asegura...

»Esto es lo que he aprendido y tú me has enseñado: en lo mejor del hombre coinciden el orden y el desorden, la sujeción y la libertad... Quizá el arte es lo que más tiene que ver con la realidad. Como la multiplicación de las verduras, de las legumbres, de las verduras, de los granos, de los animales o de las estaciones: todo es poético en sus variedades y en sus ciclos...

»El orden y el desorden. Quizá eso es lo más natural que tenéis. Buena parte de la Naturaleza está invadida de un aparente enredo: sistemas dinámicos de tipo caótico, impredecible, indeterminable... Las turbulencias de un río, de una cascada rota, los vórtices del viento, las volutas del humo, los vaivenes del fuego, el zigzag de los rayos, las líneas de tensión geológica, las arborescencias de vuestro aparato vascular, la estructura de vuestros pulmones... Cuanto no puede ser sugerido por formulaciones matemáticas o por leyes estéticas... Y esa especie de caos, �no está presente hasta en lo que se considera ordenado y estable y controlable? Vuestro sistema solar, por ejemplo, en el que se descubren anomalías y desequlibrios que sólo la existencia de un desconcierto explica...

»Descubriréis mucho más: ninguna órbita planetaria puede ser considerada inmodificable ni sujeta a un orden estricto... Paralela al arte, nacerá la Física del Caos, especializada en los sitemas denámicos de la Naturaleza, obedientes a ecuaciones de tipo no lineal. Una Física que estudiará, aparte de una función reglada de factores, otros, no previsibles, de desorden. Y el caos será descrito y formulado con ayuda de una nueva Geometría que llamaréis Fractal. Ella permite establecer orden hasta en el caos, hallar las causas de lo causal y determinar lo indeterminable. De ahí que contendrá las leyes y los principios de una nueva Estética Natural, que vosotros ya habiáis, desde vuestro corazón y vuestro arte, comenzando a intuir y a practicar.
    
    «Los cosmólogos humanos están saludablemente abiertos a sugerencias científicas, lo cual provoca una fructífera ebullición de ideas. Y un movimiento continuo: cada nueva teoría acaba por ser contradicha por alguna otra que nace casi a continuación.

»Cuando representan el universo con forma geométrica, emplean líneas curvas: un universo cerrado y esférico, en el que la gravedad detendrá por fin la expansión. O también un universo abierto, con forma de silla de montar, en el que la pequeña fuerza de gravedad no impedirá que la expansión continúe para siempre. O un universo plano, como solución intermedia, frenándose a perpetuidad pero sin llegar a detenerse nunca.



 
Aldous Huxley
Contrapunto  (1928)
Traducción ó español de Carlos Rojas


      Edward, �eres tú?   exclamó una voz profunda, no sin cierto parecido con la de lord Edward  . Soy yo, Edward; en este mismo instante acabo de descubrir una nueva prueba de la existencia de Dios, o más bien de...

    Pero si yo no soy lord Edward   chilló Illidge  . Espere, que voy a llamarle.   Se volvió hacia el anciano  . Es lord Gattenden   dijo  . Acaba de descubrir una nueva prueba de la existencia de Dios.   No sonrió; su tono era grave  . Una prueba matemática   añadió más serio que nunca.

      ï¿½Oh, santo Dios!   exclamó lord Edward, como si hubiera ocurrido algo terrible. El hablar por teléfono le ponía siempre nervioso. Corrió hacia el aparato  . Charles, �eres tú?

      ï¿½Ah, Edward!   exclamó la voz chillona del cabeza de familia a cuarenta millas de distancia, en Gattenden  . Un descubrimiento verdaderamente sensacional. Quisiera oír tu opinión sobre él. Acerca de Dios. Tú conoces la fórmula: «m dividido por cero, igual a infinito», siendo m cualquier número positivo. Bien, �por qué no simplificar la ecuación multiplicando ambos factores por cero? En cuyo caso resulta que m es igual al infinito multiplicado por cero. Es decir, que un número positivo es el producto de cero por infinito. �No prueba esto la creación del universo por un poder infinito partiendo de la nada?   El diafragma del auricular parecía contaminado por la excitación de lord Gattenden, a cuarenta millas de distancia. Hablaba con una rapidez ahogada; sus preguntas eran acaloradas e insistentes  . �Qué dices tú, Edward?   El quinto marqués se había pasado toda su vida investigando el absoluto. Era la única caza posible para un inválido. Durante medio siglo había rodado en su silla de ruedas detrás de la presa huidiza. �Era posible que la hubiese cogido ahora, tan fácilmente y en un lugar tan insospechado como era un libro de texto elemental sobre la teoría de los límites? Esto era algo que justificaba la excitación  . �Qué crees tú, Edward?

      Bien...   empezó lord Edward.

    Y al otro extremo del hilo eléctrico, a cuarenta millas, su hermano comprendió por el tono en que fue pronunciado el simple monosílabo, que su prueba carecía de valor. El rabo del infinito estaba todavía por desollar.



 
Víctor F. Freixanes
O triángulo inscrito na circunferencia  (1982)
 


      ï¿½Ónde está o secreto primeiro do Mundo, o Motor único e principal de todo canto vemos, sentimos e enxergamos ó noso arredor?   preguntou Tomás.

      O secreto está no Triángulo   díxolle a cabeza.

      O Triángulo... O indescifrable misterio da Santísima Trinidade, o máis profundo dos misterios divinos...   comentou admirado o de Aquino  . �Qué fe relixiosa, que teoloxía podería facérnolo comprender na súa perfecta plenitude?

      Eu non falo de relixión, nin de fe, nin de teoloxía   respondeu a Máquina  . Eu falo da ciencia antiga do número e da equidistancia, o equilibrio armónico da suprema xeometría, que tracexou as liñas directrices do Universo hai miles de millóns de anos. O secreto está no Triángulo.

      ï¿½Pero non é a teoloxía a ciencia suprema do coñecemento de Deus, filosofía de tódalas filosofías?

      Deus está na Razón. E a Razón está no Triángulo   volveu respostar a Cabeza mecánica.
    
    A Primeira Edade do Home: Tempo Dourado, cando as cousas eran de seu e a Armonía   sen os seus contrarios   gobernaba o mundo no reino da Matemática. Así pensaba e escribía don Xoan Manuel. Non era éste o mundo de don Xerome. Abofé que non. Daquela   escribía o Navegante nos Cartapacios   todo era perfecto. O Home nace da Razón-Divina, da Sabiduría do Supremo Creador, coma a idea nace da intelixencia ou a palabra da boca. Así naceu o Ser Humano, producto da Intelixencia Creadora. Era o tempo da Inocencia, o Equilibrio e a Libertade. Despois, veu a Catástrofe, cando os Anxos da tebra se apoderaron da Terra, aquel lugar onde o Home pousara, vivía e se reproducía na armonía total que lle daba o coñecemento e o goberno de si. Os Anxos da Tebra, novos conquistadores, trouxeron as bandeiras e os estandartes do Medo, a Escuridade Absoluta, a Sinrazón... Dende entón, o Home, orfo de si, cego coma unha toupa no laberinto, vaga polos espacios, polo tempo e pola memoria (as tres dimensións posibles) na percura dun camiño que o devolva a aqueles eidos perdidos. "O secreto está no Triángulo", dicía don Xoan Manuel. Non é certo que o Home pecase. Nin sequera a idea de Pecado existía. O Home (producto inocente da Intelixencia Divina) foi o botín de guerra entre dous grandes contrarios, os dous principios que naquel tempo mítico (e ainda agora) se enfrentan.



 
Xosé Cid Cabido
grupo abeliano  (1999)
 


    Sen engadir moitos máis comentarios de tipo teórico, retomamos a faena. Puxémonos a esfregarnos e a forcexear coma dous loitadores de sumo, e non paramos ata provocarnos outra vez esa ridícula sensación culminativa. Despois, como adoita suceder nestes casos, quedamos ámbolos dous un chisco máis relaxados do que estabamos ó comezar a nosa particular versión da carreira entre Aquiles e a tartaruga, e de feito debo admitir que non ben confirmamos, unha vez máis, o paradoxo de Zenón, caín nun sono profundo.



 
Luis Racionero
La sonrisa de la Gioconda  (1999)
 


    Si existe un método para saberlo todo, yo creo que el secreto estará en la forma, porque sólo merced a ella descubrimos el sistema de referencia propio de cada cosa, que es el único válido para estudiarlas. Los antiquísimos egipcios decían que todo significado es un ángulo. Para los cabalistas hebreos la clave está en el sistema de referencia en que se estudia cada cosa, porque es la cosa misma quien debe indicar su sistema de descripción idóneo. �Qué nos está diciendo una cosa, cuál es su lenguaje inequívoco, no sobrepuesto por la inteligencia humana?: su forma.
    
    ...
    Pensamiento sin acción es juego mental estéril. Esta visión nuestra no excluye las matemáticas, pero me temo que los matemáticos sin visión interior acabarán por olvidar las analogías y correspondencias que religan la armonía universal. Ya he tenido que argumentar estos últimos años con algunos franceses que reducen el estudio de la naturaleza a pesar y medir, olvidando el alma del mundo. Yo me resisto a enunciar teorías porque los hechos, que observo y mido y peso, son polivalentes y los modos de relacionarlos muchos. Cuando se da una teoría se los ha ensartado y ya no se mueven. Ya te dije que el mundo que vemos es una descripción, pero hay otras, confundir una descripción con la realidad no es ciencia, es capacidad de manipulación. Lo que percibimos siempre es sólo una de las descripciones posibles de la realidad, aquella que contesta a nuestros sentidos y a los aparatos con que le preguntamos. Según la pregunta es la respuesta. Como eres, así ves.
    
    Como el voluble que, ante la adversidad, se refugia en la bebida, yo me refugié en las matemáticas. Dios, que aprieta pero no ahoga, quiso que Luca Pacioli estuviera en Milán cuando llegaron los franceses. Aquel verano, cuando los invasores bajaron de los Alpes, me dediqué a estudiar el movimiento y el peso; Luca me enseñaba los algoritmos geométricos necesarios para consolidar mis observaciones con teoría, pero no hay certeza en las ciencias donde no pueda aplicarse una de las ciencias matemáticas. Quien argumenta alegando autoridad, no usa la inteligencia sino su memoria. La mecánica es el paraíso de las ciencias matemáticas porque con ella la matemática madura sus frutos. La experiencia no miente nunca: es vuestro juicio el que yerra prometiéndose efectos que no son causados en los experimentos. Los hombres se equivocan al acusar a la experiencia de engañosa: dejad a la experiencia tranquila y volved vuestras quejas contra vuestra propia ignorancia, que os lleva a fantasías o insensatos deseos; esperáis de la experiencia cosas que no están en su poder. Antes de fundar una ley sobre un caso, haz dos o tres experiencias y observa si cada prueba produce los mismos efectos. Hay que alegar primero la experiencia y luego con la razón demostrar por qué tal experiencia está constreñida a obrar de ese modo. Y ésta es la forma veraz en el proceder de los especuladores de efectos naturales. Y aunque la naturaleza empieza por la causa y termina en la experiencia, vosotros debéis seguir el camino inverso: empezar con la experiencia y por medio de ella, investigar la causa. La naturaleza está llena de infinitas razones que aún no se han manifestado en la realidad



 
Ernesto Sábato
Uno y el Universo  (1945)
 


    Infinito

    Es digno de ser meditado el hecho de que, cada vez que es posible, el hombre elimina apresuradamente el infinito. Los griegos, tan amantes de lo mesurado y perfecto, trataron de descartarlo, pues les parecía irracional, impensable e imperfecto. Por desgracia, la realidad se ha visto frecuentemente obligada a refutar a los griegos, y el fantasma rechazado por la puerta ha entrado por la ventana, acompañado de varios parientes. La matemática moderna exhibe una considerable variedad de infinitos, como si se hubieran reproducido en el éxodo, como los judíos. Desde luego, todos son inintuibles y jalonan el creciente alejamiento entre el mundo sensible y el mundo matemático. El infinitamente pequeño y el infinitamente grande marcan las fronteras de las zonas prohibidas para el ciudadano. Cuando un enamorado afirma un amor infinito, su forma de hablar debe ser denunciada como una forma filosóficamente irresponsable.


    Simplicidad de la matemática

    Existe una opinión muy generalizada según la cuál la matemática es la ciencia más difícil cuando en realidad es la más simple de todas. La causa de esta paradoja reside en el hecho de que, precisamente por su simplicidad, los razonamientos matemáticos equivocados quedan a la vista. En una compleja cuestión de política o arte, hay tantos factores en juego y tantos desconocidos o inaparentes, que es muy difícil distinguir lo verdadero de lo falso. El resultado es que cualquier tonto se cree en condiciones de discutir sobre política y arte   y en verdad lo hace   mientras que mira la matemática desde una respetuosa distancia.


Hombres y engranajes  (1951)
 


    Hacia el poder mediante la abstracción

    ...
    Una ley científica aumenta su dominio al abarcar más hechos, al generalizarse. Pero al generalizarse se hace más abstracta, porque lo concreto se pierde con lo particular. La teoría de Einstein es más poderosa que la de Newton, porque rige sobre un territorio más vasto, pero por eso mismo es más abstracta. Sobre el hallazgo de Newton todavía se pueden referir anécdotas con manzanas, aunque sean apócrifas; sobre la de Einstein, nada puede decir el pueblo, pues sus tensores y geodésicas ya están demasiado lejos de sus intuiciones concretas: apenas puede ocuparse del violín de su autor, o de su melena.
    ...

    Hacia la ignorancia por la ciencia

    ...
    A medida que la ciencia ha avanzado hacia la universalidad, y por lo tanto hacia la abstracción, se ha alejado del hombre medio, de sus intuiciones, de su capacidad de comprensión. A un hombre medianamente culto se le podía dar una explicación comprensible de la teoría de Newton. Pero cada vez que ese mismo hombre empieza a leer una explicación sobre la teoría de Einstein, cesa de entender en el preciso instante en que se comienza a decir algo de importancia; mientras se le habla de trenes, silbatos y jefes de estación, mientras estamos todavía en el reino de las cosas cotidianas, el hombre todavía cree entender algo; pero no entiende ya nada cuando se empieza con las ideas que propiamente constituyen la nueva teoría.
    ...

    Y cuando decimos que la teoría de la relatividad no está más al alcance del hombre medio, con «hombre medio» no nos referimos al ciudadano de la calle. En esta situación están desde los médicos hasta los historiadores, desde los humanistas que pueden leer a Platón en griego hasta los filósofos normales. En otros tiempos, un hombre culto era aquel que conocía la cosmogonía de los presocráticos. Hoy, el hombre culto es generalmente el que sigue conociendo la cosmogonía de los presocráticos pero ignora la de Einstein.

    Ésta es la cruel y paradojal conclusión del avance científico. A los hombres de espíritu universal sólo les queda la melancólica añoranza de aquellos tiempos en que todavía era posible l'uomo universale.


Heterodoxia  (1953)
 


    Lógica e intuición

    ...
    El instinto es ilógico, pero no falla en los problemas de la vida, que no son nunca lógicos. El hombre fracasa cómicamente queriendo aplicar la lógica a la vida. No hay individuo más grotesco en la vida cotidiana que el cientista o el filósofo: se mueve cómodamente en un espacio de n dimensiones pero a cada paso tropieza o se olvida del paraguas en el mundo de 3. Valéry observa qué imperfectamente se movía Henri Poincaré en uno de los tantos universos posibles.
    ...

    La prueba de la ruleta

    El ingeniero Georges Itzigsohn jugaba a la ruleta según un plan minuciosamente calculado, a base de fluctuaciones, estadísticas y cálculo de probabilidades. Su encantadora mujer, a pesar de su formación científica en la facultad de medicina, jugaba apostando a los cumpleaños de sus hijos. Ambos perdían, naturalmente, porque de otro modo no existiría el negocio de la ruleta. Pero mientras el ingeniero perdía científicamente, su mujer perdía absurdamente.

    Lenguaje de la ciencia y lenguaje de la vida

    ...
    El lenguaje de la ciencia puede ser lógico porque sus proposiciones se refieren al mundo estático y unívoco de las esencias; y no tienen otro objeto que expresar y comunicar verdades. Nadie pretende que, además, la frase persuada, depiertre entusiasmo o adhesión, suscite grandes manifestaciones populares de odio y alegría. Desde este punto de vista, es una desgracia que los hombres de ciencia tengan que servirse a menudo de palabras concretas, vitales, cotidianas, para simbolizar sus objetos abstractos; pues esas palabras vienen cargadas de afectos que nada tienen que hacer en el reino del pensamiento puro y que más bien perturban   y han perturbado   su desarrollo. Razón por la cual la ciencia ha terminado por buscar su lenguaje propio, totalmente inventado para sus necesidades: una tranquila multitud de símbolos desposeídos de cualquier otro significado que el convenido por sus creadores.

    Muy diferente es el lenguaje que se emplea en el mundo del hombre concreto. En primer término, porque su realidad no es lógica, y luego porque no sólo o ni siquiera se propone comunicar un conocimiento o una verdad: más bien pretende expresar sentimientos y emociones, e intenta actuar sobre el ánimo de sus semejantes, incitándolos a la acción, a la simpatía o al odio. Es, por lo tanto, un lenguaje insinuante, absurdo y contradictorio. En ese dominio de lo viviente, se suele ver a hombres patéticos, con una Gramática entre las manos como evangelistas con la Biblia, intentando vanamente ser escuchados por la turba.



 
Stephen Hawking
Historia del tiempo  (1988)
Traducción ó español de Miguel Ortuño


    Por la experiencia ordinaria sabemos que se puede describir la posición de un punto en el espacio por tres números o coordenadas. Por ejemplo, uno puede decir que un punto dentro de una habitación está a tres metros de una pared, a un metro de la otra y a un metro y medio del suelo. O uno podría especificar que un punto está a una cierta latitud y longitud y a una cierta altura sobre el nivel del mar. Uno tiene libertad para usar cualquier conjunto válido de coordenadas, aunque su utilidad puede ser muy limitada. Nadie especificaría la posición de la Luna en función de los kilómetros que diste al norte y al oeste de Piccadilly Circus y del número de metros que esté sobre el nivel del mar. En vez de eso, uno podría describir la posición de la Luna en función de su distancia respecto al Sol, respecto al plano que contiene a las órbitas de los planetas y al ángulo formado entre la línea que une a la Luna y al Sol, y la línea que une al Sol y a alguna estrella cercana, tal como Alfa Centauro. Ni siquiera estas coordenadas serían de gran utilidad para describir la posición del Sol en nuestra galaxia, o la de nuestra galaxia en el grupo local de galaxias. De hecho, se puede describir el universo entero en términos de una colección de pedazos solapados. En cada pedazo, se puede usar un conjunto diferente de tres coordenadas para especificar la posición de cualquier punto.



 
Michael Friedman
Fundamentos de las teorías del espacio tiempo  (1983)
Versión en español de Luis Bou


     Nuestras teorías coinciden todas en afirmar que el espacio-tiempo es una variedad diferenciable de dimensión cuatro. ¿Qué significa tal cosa? Ante todo, el espacio-tiempo tiene una topología: dado un punto cualquiera p del espacio-tiempo, tenemos la noción de entorno de p, esto es, un conjunto de puntos, todos los cuales están próximos a p. En segundo lugar, el espacio-tiempo es coordinatizable mediante R4 (el conjunto de todas las tétradas de números reales). Es decir, dado un punto p cualquiera del espacio-tiempo, existe un entorno A de p y una aplicación inyectiva f de A en R4 que es suficientemente continua (f aplica puntos «cercanos» en A en puntos «cercanos» en R4, y viceversa.) La aplicación f se llama un sistema de coordenadas, o una carta local en torno a p...

     La aserción de que el espacio-tiempo es una variedad diferenciable de dimensión cuatro es un aserto puramente local. Expresa que el espacio-tiempo posee en pequeño un «buen comportamiento»   en un entorno de cada punto p. Tal aserto deja totalmente sin determinar cómo es el espacio-tiempo globalmente, o si se quiere, en grande. En particular, desconocemos si el espacio-tiempo como un todo puede ser aplicado biunívoca y bicontinuamente sobre R4. El espacio-tiempo, globalmente, puede ser finito o infinito, cerrado como una esfera o abierto como un plano, conexo (sin agujeros ni piezas que le falten) o disconexo (con porciones suprimidas arbitrarias), y así por demás.


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